コーシー リーマン の 関係 式。 複素関数論

材料力学

コーシー リーマン の 関係 式

ここは、文字を定義しただけですね。 また法線ベクトルは別の書き方では、 こんな感じで、「各軸におろした角度」を使って方向余弦を定義できます。 各面にはたらく応力ベクトル 続いて各面にはたらく応力ベクトルを書いていきます。 応力ベクトルは2種類あります。 面に対して垂直な方向の応力:垂直応力• 面に対して平行な方向の応力:せん断応力 添え字が多くて少々煩雑に見えますが、添え字の意味を理解しておくとたいしたことはないです。 垂直応力は添え字がひとつしかないのでわかりやすいですが、せん断応力は添え字が2つあるのでどういった意味なのかを示しておきます。 これで準備段階は終わりました。 ようやく、 任意の面にはたらく応力ベクトルと、 三角錐の各面にはたらく力との つり合いの式 を考えることになります。 こんな感じで・・・ そうすると、冒頭で示した応力ベクトルとコーシー応力の関係式が導けたことになります。 1 式はこのように書いたりもします。 お読みいただきましてありがとうございます。 少々回答が長くなり申し訳ございません。 ここで力のつりあいが成立する物理的な要請ってあるのでしょうか? 本質は力のつり合いではなく、応力がテンソル(線型写像)であることではないかと思いました。 この2つはほぼ同じ意味であると解釈しています。 ここで力のつりあいが成立する物理的な要請ってあるのでしょうか? つりあいが成り立つための物理的な要請があるのではなくて、つりあっていること自体を要請しています。 これは、ニュートン力学第三法則の3つ目の作用反作用にあたります。 「Aさんが物体Bをある力で押すと、同じ力でAさんは物体Bから押し返されます」。 これをAさんと物体Bを一体モノだと思うと今回考えている状況と同じです。 つまり内力なのでつりあっていること自体を要請しています。 それでも納得がいかない場合もあるかと思います。 その場合は、「最小作用の原理から仮想仕事の原理」というものを要請すると、自然と力のつりあいが導かれます。 つまりここで考えている力は内力なので力がつりあっていると状態が最も実現可能な状態と考えるのです。 本質は力のつり合いではなく、応力がテンソル(線型写像)であることではないかと思いました。 これも正しいと思っています。 そして、単に写像したものの式を眺めると力のつりあいの式であると後で解釈することも可能です。 ぜ応力がテンソル表現なのか、という部分がうまく理解できません。 単純に線型な物理モデルを扱っているだけのことなのか、それとも応力がテンソルというのは連続体力学で一般的な話なのでしょうか? 力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致してしていない応力成分(せん断応力)があるため、2階テンソルになっていると理解しております。 2階テンソルといっても、「共変テンソル、反変テンソル、混合テンソル」などありますが、申し訳ないですがそのあたりは勉強不足なのでこれ以上は回答ができません。 材料力学でも流体力学でも同じように連続体力学として応力を定義していますので、連続体力学では一般的ではないかと思っております。 korokoroさま 返信ありがとうございます。 私は社会人になってから物理の学習意欲が再燃したもので、久々に他人と物理の話ができて嬉しく思います。 ところで応力がテンソル表現になる理由について、返信を読んでもすぐには腑に落ちなかったのですが、あわせて以下のリンクを読んで一応納得できました。 またわからないことがあったらコメントさせてください。 このブログでは主に大学以上の物理を勉強して記事にわかりやすくまとめていきます。 ・解析力学• ・流体力学• ・熱力学• ・量子統計• ・CAE解析(流体解析)• noteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を日々書いています。 また、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。 youtubeではオープンソースの流体解析、構造解析、1DCAEの操作方法などを動画にしています。 Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。 カテゴリー• 4 Twitter.

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コーシー・リーマンの関係式

コーシー リーマン の 関係 式

実関数で連続性や微分可能性を確認する際には、正の方向(右側極限)と負の方向(左側極限)の2方向からそれぞれ極限を取り、2つの極限が一致するかを確かめることで連続性および微分可能性を確認することができます。 2 複素関数の連属性・微分可能性 では本題の複素関数における連続性、微分可能性についてみていきましょう。 実関数とほとんど同じように見えますよね。 そのため、実関数に比べて連続性や微分可能性を判定するのがめんどくさくなります。 そこで使われるのが次の章で紹介するコーシー・リーマンの関係式です。 ちなみに複素関数 があらゆる複素平面上で微分可能なとき、 複素関数 は正則関数(正則である)といいます。 2.コーシー・リーマンの関係式と微分可能性 複素関数がつぎに示すコーシーリーマンの関係式を満たすかを確認することで、上の極限を調べることなく複素関数が微分可能性かどうかを調べることができます。 このように、複素関数を実部と虚部に分け、それぞれを偏微分し、互いの偏微分の結果を比較することで複素関数が微分可能かを調べることができます。 (万が一偏微分が怪しいなって人はで復習しましょう。 ) 偏微分の結果をどのように比べてるのか上の式だと少しわかりにくいので下のように偏微分の結果を並べることを考えましょう。 またどっちにマイナスをつけるんだっけと解いている最中に迷うことがあるかもしれません。 でも簡単に覚える方法があります。 サラスの公式の引く方向に対してマイナスが付くと考えるとコーシー・リーマンの公式でどっちにマイナスが来るかを覚えることができます。 では、簡単な例題を1問解いてみましょう。 解説 まずは複素関数 を実部 と虚部 に分離します。 3.練習 では、3問ほど複素関数の微分可能性(正則かどうか)についての練習問題を解きましょう。 練習4 正則な複素関数 の実部が で表されるとき、複素関数 を求めなさい。 よって , , と求められる。 解答4 複素関数 の実部を 、虚部を とする。 5.さいごに 今回は、複素関数の微分可能性、およびコーシー・リーマンの関係式についてまとめました。 コーシー・リーマンの関係式のマイナスの位置を間違えないようにきちんとサラスの公式を思い出してマイナスの位置を覚えておきましょう。

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ときわ台学/複素関数論/正則関数

コーシー リーマン の 関係 式

のの分野において、 コーシー・リーマンの方程式(: Cauchy—Riemann equations)は、2つのからなる方程式系であり、連続性と微分可能性と合わせて、がすなわちであるための必要十分条件をなす。 コーシー・リーマンの関係式とも呼ばれる。 およびの両者にちなんで名付けられた。 この方程式系に最初に言及したのはの著作である。 後に、はこの方程式系をと結びつけた。 コーシーはさらにコーシー・リーマンの方程式を彼の関数論を構築するために用いた。 関数論に関するリーマンの論文は1851年に発表された。 実2変数の実数値関数の対 u x, y , v x, y に関するコーシー・リーマンの方程式は次の2つの方程式である。 u と v は、 R 2 から R への関数と考えて、 C のの一点において実であると仮定する。 これは u と v の偏微分が存在し、 f の小さい変分を線型に近似できることを意味する(偏導関数は連続とは限らない)。 コーシー・リーマンの方程式を満たす偏微分の存在だけではその点で複素微分可能とはいえない。 u と v が実微分可能であることが必要であり、これは偏導関数の存在よりも強い条件であるが、これらの偏導関数が連続である必要はない。 は複素関数が C の開連結部分集合(これは C のと呼ばれる)のすべての点において微分可能であるという性質である。 したがって、複素関数 f で、実部 u と虚部 v が実微分可能なものが正則であるための必要十分条件は、方程式 1a , 1b が扱っている領域の全体で満たされることである。 であり、また逆も成り立つ。 つまり、複素解析において、領域全体で複素微分可能(正則)な関数は解析関数と同じものである。 これは実微分可能な関数に対しては成り立たない。 実際の用法としては、ある関数 f z が微分不可能であることを、コーシー・リーマンの方程式が成り立たないことから示すことが多い。 解釈および再定式化 [ ] 先述の等式はの文脈においてある関数が微分可能であるかの条件を示す一つの方法であった。 言い換えれば、ひとつだけの複素変数を持つ関数()の概念を、伝統的な微分法を用いて包括するものである。 この概念を表すメジャーな方法は他にも幾つかあるが、しばしば他の言葉への言い換えが必要となる。 等角写像 [ ] まず、コーシー・リーマンの方程式は複素形式に書くことができる。 この形式の行列はである。 幾何学的には、そのような行列は常に ()を伴うのであり、特に角度を保存する。 関数 f z のはzにおいて2曲線の交差する点において無限小の線分を持ち、それらを f z の対応部分に回転する。 従って、ゼロではない導関数を持つコーシー・リーマンの方程式を満たす関数は平面において曲線間の角度を保存する。 すなわち、コーシー・リーマンの方程式はある関数が司るがであるための条件となる。 さらに、等角写像同士の合成もまた等角写像となることから、等角写像を伴うコーシー・リーマンの方程式の解の合成は、それ自体がコーシー・リーマンの方程式の解となる必要がある。 よって、等角的に不変である。 すると点 z 0 での f の複素導関数は(以下のような極限が存在すると仮定すれば)次のように定義される。 実軸に沿って近づけることで、以下を得る。 これは次の線型近似が存在することを仮定することに等しい。 これはまさにコーシー・リーマン方程式であり、 f は z 0 で z 0 でのコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として微分可能である。 関連項目 [ ]• 脚注 [ ]• 参考文献 [ ]• 1953 , Complex analysis 3rd ed. , McGraw Hill 1979発行 ,. 1752 , , Paris ,. 1, 1, Paris 1882発行 , pp. 319—506• Chanson, H. 2007 , , Journal La Houille Blanche 5: 127—131, :, ,. 1969 , Foundations of modern analysis, Academic Press. 1797 , Nova Acta Acad. Sci. Petrop. 10: 3—19• Gray, J. ; Morris, S. 1978 , , The American Mathematical Monthly 85 4 : 246—256, April 1978, :, ,. 1893 , On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals, Cambridge: MacMillan and Bowes ; translated by Frances Hardcastle. Iwaniec, T; Martin, G 2001 , Geometric function theory and non-linear analysis, Oxford. Looman, H. Kobayashi, S; Nomizu, K 1969 , Foundations of differential geometry, volume 2, Wiley. Weber, Riemann's gesammelte math. Werke, Dover, 1953, pp. 3—48• 1966 , Real and complex analysis 3rd ed. , McGraw Hill 1987発行 ,. Solomentsev, E. 2001 , , in Hazewinkel, Michiel, , , ,• ; Tall, David 1983 , Complex Analysis 1st ed. , CUP 1984発行 ,. 外部リンク [ ]•

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