ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数。 ユークリッドの互除法

【発展】ユークリッドの互除法の計算回数とフィボナッチ数列

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

ユークリッドの互除法 最強です。 アルゴリズムの威力をしるためのツールでもあります。 原理は実に簡単なのですが、このツールによって、いろいろな整数の性質がわかってきます。 整数論するには省けない最強ツールなのです。 ユークリッドの互除法のなにがすごいのか。 最大公約数が高速に計算できる。 ユークリッドの互除法の式ですが、ただp,rが存在するだけでなく、なんと、 aとbの最大公約数と bとrの最大公約数は同じ という大定理がうしろに控えているのです。 aのかわりにrをつかって最大公約数を求めて良いという定理です。 互除法とり、rはaとり小さい数なのでこの置き換えはものすごく威力を発揮します。 これによって、最大公約数が実に効率よく求めることができるのです。 例題 たとえば、47355と43173の最大公約数を求める問題があったとします。 そうやって解きますか?素因数分解すれば簡単に求まりますよ。 確かに。 しかーし、素因数分解するのが簡単でないですね。 しかし、素因数分解の式をみつけるのは、かなりの労力です。 ここでユークリッドの互除法の登場です。 これは、余りを使った割り算いほかなりません。 ユークリッドの互除法とは余りをだず割り算のことなのです。 最大公約数も求めたことになります。 43173と4182の最大公約数ですが、再度どまたユークリッドの互除法です。 連続して使えます。 ここも利点。 ここで終了です。 1353は 123の倍数ですので、最大公約数は 123です。 つまり、47355と43173の最大公約数は 123なのです。 素因数分解してから求めた最大公約数と同じ結果になることが確認できました。 まとめ ユークリッドの互除法を使うと最大公約数を非常に効率よくもとめることができる! コメント ユークリッドの互除法が活躍する場所は他にもたくさんあります。 これだけではありません。 本当に整数論にはなくてはならない最強のツールです。 PV数ランキング• 166,558pv 高校で習う微分と積分は、数学の中でもかなり高レベルな内容です。 言葉や公式は知っていても、なんか実感がわかないと思うのなら、 次の例えで微分と積分を考えてみ... 133,089pv 自然数 小学校で最初に学ぶ数が自然数です。 小学校で最初にどのような数を学んだのかというと、1、2、3、・・・とまずは10までなんども唱えて覚えたことと... 96,452pv よく数学を教えて欲しいという友達が言うことがあります。 簡単なものほど難しい。 59,868pv 素数とは何か? Wikipedeiaに2通りの素数定義があります。 どちらも意味は同じです。 素数(そすう、英: prime number)とは 定義そ... 50,921pv.

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ユークリッドの互除法と最大公約数

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

具体例とともにまとめると以下のようになります。 最大公約数とは、 公約数のうち最大の数のことですね。 例えば、21と35の最大公約数は7であり、221と169の最大公約数は13となります。 この最大公約数を求める時に、 ユークリッドの互除法を使えば、221と169という大きな数でも最大公約数は13であるというように、 最大公約数を求めることができます。 小さな数であれば素因数分解をすることで求めることができますが、大きな数になるとユークリッドの互除法に頼る方が圧倒的に早くなります。 ユークリッドの互除法のやり方は以下のようになります。 具体例と一緒に確認して覚えましょう!• 2つの数のうち小さい数で大きい数を割り、その余りを求める• 元の小さい数を 1 で求めた余りで割る• 2を余りが0になるまで繰り返して最後の余りが最大公約数 このように余りを求める計算を繰り返していくことで、2つの数の最大公約数を求めることができます。 ユークリッドの互除法の証明 整数問題の証明は少し抽象的になって難しいですが、ユークリッドの互除法の証明は2次試験が記述試験でない限り必要ないでしょう。 そのため、 センターでしか数学を使わない人は覚えなくても大丈夫です。 しかし、数学を得点源にしたい人はこの機会に理解して覚えてしまいましょう。 ユークリッドの互除法の証明 最終的に証明したいのは、 a,b の最大公約数と b,r の最大公約数が等しいことです。 rはaをbで割った余り そこで、 a,b の最大公約数が b,r の最大公約数以下であり、かつ以上であることを証明します。 aをbで割った商をp、余りをrとおく。 よって、 a,b の最大公約数と b,r の最大公約数が等しい。 これより、紹介した方法を繰り返すと、いずれ余りが0になるのでユークリッドの互除法が成り立ちます。 ユークリッドの互除法の一次不定方程式への応用 「ユークリッドの互除法は最大公約数を見つけるのに便利な手法である」と紹介しましたが、入試で問われることが多いのは 一次不定方程式と呼ばれる問題への応用です。 1次不定方程式とは次のような方程式です。 7,-4 2,-1 , -3,2 など、特定の整数の組が成り立つことを上のように表現するので覚えておきましょう。 それでは実際に問題を解いてみましょう。 まずこの問題を解くためにこれを満たす整数の組を1つ見つけます。 この組を求めるためにランダムに数字を入れて確かめても良いのですが、数字が大きいと見つけるのは大変なので互除法を利用します。 まず、ユークリッドの互除法を割る数が1になるまで繰り返します。 次にそれぞれ下から代入していきます。 この問題を解くためのポイントは 「方程式をみたす値を見つけること」と、 「互いに素であることを利用して文字を用いてx,yを表すこと」です。 運が良ければユークリッドの互除法を利用する前に値を見つけることができますが、値が大きな場合はユークリッドの互除法を利用しましょう。 ユークリッドの互除法攻略は、整数問題に慣れることから ユークリッドの互除法そのものはそんなに難しいわけではないですが、整数問題は受験生が苦手とする分野で攻略しにくいので注意が必要です。 不定方程式のような馴染みがない問題も出題されますが、演習を繰り返して当たり前のように解けるようにしていきましょう。

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ユークリッドの互除法とその先

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

【 ユークリッドの互除法 】 このアルゴリズムは、2つの自然数を対象としたものです。 1 a を b で割り、その余りを r に入れます。 2 r が 0 なら b が最大公約数です。 処理を終了します。 < 最大公約数を求めるプログラム 1 > a, b をキーボードから指定するものとします。 (参考: ) なお、大小関係による引数の入替や値のチェックは、euclid関数に含めるべき処理なので関数の先頭に移しました。 再帰呼出し時にも if 文が実行されますが、負荷は問題にならない程度なので、機能のまとまりを優先します。 < 実行結果例(1、2のプログラムとも)> 2つの自然数を指定してください : 6, 3 最大公約数は3 2つの自然数を指定してください : 27, 18 最大公約数は9 2つの自然数を指定してください : 50, 24 最大公約数は2 2つの自然数を指定してください : 876, 204 最大公約数は12 2つの自然数を指定してください : 1024, 512 最大公約数は512 2つの自然数を指定してください : q (今回のクイズは自習です) 上記以外の求め方として、最小の公約数でどんどん割っていく方法があります。 筆算で書くとこうです。 興味があれば、この処理手順でもプログラムを書いてみてください。 ( クイズはありませんでした).

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